행렬

Matrix¶

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행렬(matrix)¶

• 행렬(matrix)은 벡터를 원소로 가지는 2차원 배열이다.

In [1]:

import numpy as np
X= np.array([[1,-2,3],[7,-5,0],[-2,-1,2]])
X

Out[1]:

array([[ 1, -2,  3],
       [ 7, -5,  0],
       [-2, -1,  2]])

• 행렬은 행(row)과 열(column)이라는 인덱스(index)를 가진다.

• 행렬의 특정 행(열)을 고정하면 행(열)벡터라 부른다.

전치행렬¶

행렬 이해하기 #1¶

• 행렬의 행벡터 X_i는 i번쨰 데이터를 의미한다.

• 행렬의 x_ij는 i번째 데이터의 j번째 변수의 값을 말한다.

행렬의 덧셈, 뺄셈, 성분곱, 스칼라곱¶

• 행렬끼리 같은 모양을 가지면 덧셈,뺄셈을 계산할 수 있다.
• 성분곱, 스칼라곱은 벡터와 차이가 없다.

행렬 곱셈¶

• 행렬 곱셈(matrix multiplication)은 i번째 행벡터와 j번째 열벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산한다.
• 행렬곱은 X의 열의 개수와 Y의 행의 개수가 같아야 한다.

코드로 확인해 보기¶

In [2]:

X= np.array([[1,-2,3],
             [7,-5,0],
             [-2,-1,2]])
Y=np.array([[0,1],
            [1,-1],
            [-2,1]])

In [3]:

X@Y

Out[3]:

array([[-8,  6],
       [-5, 12],
       [-5,  1]])

• numpy에서는 @연산이 행렬의 곱셈이다.

행렬의 내적¶

• 넘파이의 np.inner는 i번째 행벡터와 j번째 행벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산한다.
• 수학에서는 보통 tr(XY^T)

코드에서 확인해 보기¶

In [4]:

X= np.array([[1,-2,3],
             [7,-5,0],
             [-2,-1,2]])
Y=np.array([[0,1,-1],
            [1,-1,0]])

In [5]:

np.inner(X,Y)

Out[5]:

array([[-5,  3],
       [-5, 12],
       [-3, -1]])

• X의 열의 개수와 Y의 열의 개수가 같아야 한다.

행렬 이해하기 #2¶

• 행렬은 벡터공간에서 사용되는 연산자(operator)로 이해한다
• 행렬곱을 통해 벡터를 다른 차원의 공간으로 보낼 수 있다.
• 행렬곱을 통해 패턴을 추출할 수 있고 데이터를 압축할 수도 있다.

역행렬¶

• 어떤 행렬 A의 연산을 거꾸로 되돌리는 행렬을 역행렬(inverse matrix)이라 부르고 A^-1라 표기한다.
• 역행렬은 행과 열 숫자가 같고 행렬식(determinant)이 0이 아닌 경우에만 계산할 수 있다.

• 역행렬 연산은 n=m 일때만 가능하고 행렬A의 행렬식이 0이 되면 안된다.

코드로 확인해 보기¶

In [6]:

X= np.array([[1,-2,3],
             [7,-5,0],
             [-2,-1,2]])

In [7]:

np.linalg.inv(X)

Out[7]:

array([[ 0.3030303 , -0.03030303, -0.45454545],
       [ 0.42424242, -0.24242424, -0.63636364],
       [ 0.51515152, -0.15151515, -0.27272727]])

• 역행렬 구하기

In [8]:

X @ np.linalg.inv(X)

Out[8]:

array([[ 1.00000000e+00, -5.55111512e-17, -1.11022302e-16],
       [ 0.00000000e+00,  1.00000000e+00,  0.00000000e+00],
       [-2.22044605e-16,  0.00000000e+00,  1.00000000e+00]])

• 결과는 항등행렬이어야 하지만 0인 부분은 완전히 0값이 나오지 않고 0에 근접한 값이 나오게 된다.

유사역행렬/무어-펜로즈 역행렬¶

• 만일 역행렬을 계산할 수 없다면 유사역행렬(pseudo-inverse)또는 무어-펜로즈(Moore_Penrose)역행렬 A⁺을 이용한다.

코드로 확인해 보기¶

In [9]:

Y=np.array([[0,1],
           [1,-1],
           [2,1]])

In [10]:

np.linalg.pinv(Y)

Out[10]:

array([[-0.07142857,  0.28571429,  0.35714286],
       [ 0.35714286, -0.42857143,  0.21428571]])

• 유사 역행렬

In [11]:

np.linalg.pinv(Y) @Y

Out[11]:

array([[ 1.00000000e+00,  1.11022302e-16],
       [-1.11022302e-16,  1.00000000e+00]])

• 항등 행렬

In [12]:

X=np.array([[1,0,1],
           [0,1,0]])

In [13]:

np.linalg.pinv(X)

Out[13]:

array([[0.5, 0. ],
       [0. , 1. ],
       [0.5, 0. ]])